Matematiksel ilkeler gerçek dünyaya ilişkin oldukları kadar kesinlikten uzak, kesin oldukları kadar gerçek dünyaya ilişkin değillerdir.
(Albert Einstein)
MATEMATİK
Matematiğin bilimdeki önemini belki de ilk kavrayan bilim adamı, modern fiziğin kurucusu Galileo olmuştur. Evreni, incelemememize açık duran yüce bir kitaba benzeten Galileo şöyle demiştir: Evren matematiğin diliyle yazılmıştır; harfleri üçgen, çember ve öteki geometrik nesnelerdir. Bunları bilmedikçe onun bir sözcüğünü dahi anlayamayız. Matematiğin dilini bilmeyen için evren, içinden çıkılmaz karanlık bir labirent gibidir. Galileo nun belki biraz abartarak vurguladığı noktaya açıklık getirmesi bakımından şu örneği ele alalım: Kepler in, fizik ders kitaplarında, matematiğin diliyle bir denklem biçiminde yazılan gezegenlerin devinimine ilişkin üçüncü yasası,
T^2 = K.R^3
günlük dilde şöyle bir cümleyle ifade edilebilir: Bir gezegenin güneş çevresindeki dönüş süresinin karesi(T^2), gezegenin güneşten ortalama uzaklığının küpüyle(R^3) doğru orantılıdır(burada K sabittir). Görüldüğü gibi matematik dilinde son derece açık, kesin ve kısa biçimde ifade edilen bir ilişki, günlük dilde oldukça karmaşık ve uzunca bir cümleye denk gelmektedir. Dahası da şudur: Matematiğin olguları yorumlamaya açık ama kendi dilinde birer formül olan kimi denklemler beşeri bilimlerde hazır ifade kalıpları olarak çok fazla işe yararlar. Örneğin şu formülü ele alalım: y = a.x^2. Formüldeki y ve x terimleri birer değişkendir; herhangi bir konuya ilişkin bir değer olabilirler. Nitekim formülün bir yorumuna fizikte rastlarız. Cisimlerin serbest düşme yasası,
a = ½.g.t^2
şeklindedir. Bu, formülün belli bir olgusal ilişkiye uygulanmasını dile getirmektedir. Aynı formülü başka konular, örneğin ekonomideki arz-talep ilişkisi şeklinde ifade etme olanağı da vardır.
Yine de pek çoğumuz için matematik bir yandan soyut, bir yandan anlaşılması zor, hatta bekli de oldukça gizemli bir konudur. Öte yandan açıklığın, kesinliğin ve yanılmazlığın ölçütünü matematikte bulanların sayısı da az değildir. İster istemez aklımıza şu soru gelmektedir: Matematik çoğu insanın zannettiği şekilde doğruluğu su götürmeyen yetkin bir bilim midir yoksa doğruluğu bir yana uğraş konusu bile belli olmayan satranç türünden bir oyun ya da gizemli bir bilmece midir? Kısacası Matematik ne ola ki? Hazır bu soruya yanıt ararken, içinde ince bir alayı da barındıran ünlü bir öyküyü hatırlatmakta fayda var: Bir matematikçi ile bir filozof tartışıyorlarmış. Matematikçi felsefenin laf ebeliğinden başka bir şey olmadığını, filozof da matematiğin bir takım simgeler ve kurallardan oluşan bir oyun olmaktan ileri gitmediğini iddia etmektedir. Derken araya giren sağduyulu bir vatandaş, kavgaya gerek yok demiş: Felsefe dediğin her şey hakkında hiçbir şey bilmemektir; matematik ise hiçbir şey hakkında her şeyi bilmektir
Bu benzetmenin pek de yabana atılır cinsten olmadığı Bertrand Russell ın şu ifadesinde kendini göstermektedir: Matematik ne konuştuğumuz şeyin ne olduğunu, ne de söylediklerimizin doğru olup olmadığını bilmediğimiz bir bilimdir. Sorumuza dönersek, Matematik nedir gerçekten?
Bu soruya sayısız yanıtlar verilmiştir. Matematiği kendine özgü konu ve yöntemiyle bir bilim sayanlar var: örneğin matematikçilerin gözünde o bilimlerin kraliçesi dir. Kimi bilim adamlarının gözünde ise bilimlerin hizmetçisi dir. Matematiği bir bilim değil de, bir dil, belli kural ve simgelerden oluşan yalın bir anlatım şekli ya da biçimsel ilişkiler üzerinden yürüyen mantıksal bir çıkarım, bir yöntem, bir dönüştürme aracı olarak kabul edenler de vardır. Bertrand Russell matematiği;
P doğru ise Q doğrudu
biçimini alan tüm önermelerin bir kümesi olarak tanımlamıştır. Bu demektir ki, matematik simgesel mantıkla özdeş olan, doğruluğu geçerli çıkarımlarda arayan biçimsel bir disiplindir. Acaba gerçekten öyle midir? Merak etmeyin, değildir
Matematiğin ne olduğu sorusuna birtakım tanımları sıralayarak açıklık getirmeye olanak yoktur. Bir kere tanımların çoğu birbiriyle bağdaşır nitelikte değildir. Sonra her tanım belli bir görüşün ürünüdür, matematiğe değişik bir bakış açısını yansıtır. O görüş, o bakış açısı bilinmedikçe ona dayalı tanımın doğru yorumlanmasını bekleyemeyiz. Bu nedenle soruya yaklaşımımız tanımların ötesinde bir araştırmayı, mantıksal bir irdelemeyi gerektirmektedir. Matematik, hiç değilse görünürde olarak, sadece olguları betimlemeye ve açıklamaya yönelik bir araştırma alanı olmadığına göre neyi konu almaktadır ve yöntemi nedir? Matematiğe özgü olan kesinliğin kaynağı nedir? Uzun zaman dendiği gibi, konusu sayılar ya da sayısal ilişkilerdir deyip tabiri yerindeyse kestirip atmakla olmamaktadır. Çünkü topoloji gibi, projektif geometri gibi, kümeler teorisi gibi sadece sayılardan ibaret olmayıp bambaşka alanları da inceleyen matematiksel çalışmalar da vardır. Öte yandan mantık gibi matematiği tümüyle biçimsel saymakta olmuyor. Ayrıca matematiksel buluşların sezgi ya da yaratıcı imgelemeye yer vermediği, yalın bir çıkarım işi olduğu nasıl söylenebilir?
Burada, matematiğin başlangıç dönemine kısaca değinmekte fayda vardır. Matematik tüm soyut görünümüne karşın bir insan uğraşıdır. Bu özelliği ile yaşam zorunluluklarından kaynaklandığı söylenebilir. Nitekim sayma dışındaki hesaplamaların ilk belirdiği eski uygarlıklara baktığımızda, bu savın geçerliliğini kolayca görmekteyiz. Geometri sözü yer ölçümü anlamına gelir. Mısır da Nil nehrinin taşmalarından sonra ekin alanlarının yeniden belirlenmesi ihtiyacından doğmuştur. Aynı biçimde Babilliler de nehir taşmalarını önleme, sulama, bataklık kurutmada, özellikle kendilerine o haklı ünü sağlayan görkemli yapı ve tapınakları gerçekleştirmede geometriye başvurmuşlardır. Ticaret etkinliklerini yürütürken de aritmetikten faydalanmışlardır. Tarımsal faaliyetler kullanışlı bir takvimin geliştirilmesine, mal takası belli ölçülerin birim olarak kullanılmasına yol açmıştır. Gerçi ölçme ve basit hesaplara dayanan bu ilk gelişmeler pratik amaçlara yönelikti buna rağmen zamanla, bu bilgilerin pratik niteliklerinin dışında ele alınması, öğretilmesi, bir miktar genel ve soyut karakter kazanması kaçınılmazdı. Nitekim hem Babil de hem de Mısır da matematiğin ihtiyaçları çok aşan bir düzeye ulaştığı bilinmektedir. Bununla birlikte Grek-Yunan uygarlığı öncesi dönemdeki matematiğin belirgin özelliği empirik nitelikte olmasıydı yani ulaşılan sonuçlar çoğunlukla deneme ve yanılma yönteminin ürünü olmaktan ileriye gitmiyor, genellemeler tümevarımsal akıl yürütmeye dayanıyordu. Matematiğe bilimsel nitelik veren ispat kavramının ortaya çıkışı Grek-Yunan uygarlığını bekler.
Proclus a göre geometrinin Grek-Yunan dünyasına girişi antik dünyanın yedi akıllı adamı ndan biri olan Milet li Thales in bir süre Mısır da dolaştıktan sonra ülkesine geri dönmesinden sonra başlar. Yedi akıllı adam dan biri olan Thales in ispatladığı teoremler arasında özellikle şunlar önemlidir: 1) İkizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir, 2) Yarım daire içine çizilmiş çapı gören bir açı dik açıdır (Bu önermeyi Babilliler Thales ten 1400 yıl önce, milattan önce 2000 yıllarında bilmekteydiler!), 3) Daireyi herhangi bir çapı ikiye böler, 4) Birbiriyle kesişen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar eşittir. Pisagor un da bir süre Mısır ve Babil de kaldığı bilinmektedir.
Kolayca yadsınamayacak bir nokta şu ki, Grek ler kendilerinden önceki çalışmalara borçları ne olursa olsun matematiğe empirik aritmetik ve yer ölçümünün ötesinde, yepyeni bir nitelik kazandırmışlardır. Matematik Grek lerin elinde bir dönüşüme uğramış, rasyonel düşünme ve ispata dayalı bir disiplin kimliği kazanmıştır. M.Ö.600 dolaylarında ortaya çıkan, sonraki 300 yıl boyunca da işlenerek mantıksal yetkinliğe ulaşan bu dönüşümün tam olarak doyurucu bir açıklaması ne yazık ki halen araştırma konusudur.
Günümüzde Matematik Öğretiminin Genel AMAÇLARI:
Mantıksal düşünme yeteneğini geliştirmek,
Günlük hayatta karşılaşılan problemlerin çözümünde mevcut koşulları doğru değerlendirmek,
Mümkün olduğu hallerde bilgiyi sayılaştırılmış verilerle ortaya koyma alışkanlığını kazandırmak,
Soyutlama yapma alışkanlığını kazandırmak, bu yolla zihinsel bağımsızlığı geliştirmek,
Özelleştirme ve genelleştirme yapma alışkanlığı kazandırmak, bu yolla sezgisel düşünceyi geliştirmek,
Estetik değerleri geliştirmek,
Bir problemin değişik yollar izlenerek çözülebileceğinden hareketle, farklı görüş ve düşüncelere zihnen açık olabilme ve onlara saygı duyma alışkanlığını kazandırmak.
Ortaöğretim Matematiğinin Genel AMAÇLARI:
Daha sonra çeşitli dallara ayrılacak olan öğrencilere ilerde kendilerine yardımcı olacak ortak matematik kültürünü vermek,
Doğru düşünme kurallarını öğretmek, ispat kavramını algılatmak, ispat edilebilen bilimsel sonuçlar ile doğmalar arasındaki farkı kavratmak. Her alanda varılan yargı ve hükümlerin ispat edilebilir nitelikte olması gerçeğini ve bunun önemini kavratmak,
Matematiksel yapı kavramını algılatmak, sayı sistemlerini ve geometrik modelleri kavratmak,
Geometrik problemleri incelemek için analitik geometrinin getirdiği kolaylıkları sezdirmek,
Öğrencilerin edindiği bilgi ve becerileri günlük yaşamda karşılaştıkları problemleri çözmek için kullanma alışkanlığı kazanmalarını sağlamak,
Karşılaştığı problemlerin çözümünde yerine göre;
Analiz ve sentez,
Tümden gelim,
Tüme varım,
Özelleştirme ve genelleştirme yollarını kullanma alışkanlığı edinmelerini sağlamak.
Öğretim ve öğrenim sürecinde öğrenciye;
Matematiğe karşı ilgi
İnceleme ve araştırma alışkanlığı
Önyargısız olabilme isteği
Bilginin yayılması için istek oluşturmak.
Problem ÇÖZMEK
Genelde matematikle ilgilenenlerin ve öğrencilerin çoğunun kendine has problem çözüm teknikleri vardır. Öğrenciler ham yetenekleri ile fazla sayıda problem çözmeyi birleştirip o sayede konuları öğreniyorlar. Genel olarak problem çözmek, konunun pekiştirilmesi, daha iyi anlaşılması için bir araçtır. Ancak herkesin aynı oranda çok soru çözme şansı yoktur. Dolayısıyla çözüm tekniğini bilmek ve o şekilde problem çözmeye başlamak daha faydalı olur.
Her problem belli aşamalardan geçilerek çözülür. Yine çoğu problemin birden fazla çözümü olduğu ve her bir çözümün de ayrı bir teknikle yapıldığı unutulmamalıdır. Esas olan bir problemi çözmeye başlarken, acaba bu problem için en uygun yol-teknik hangisidir diye o soruya özel bir teknik arayarak kendinizi sınırlamak yerine her türlü tekniğe açık bir yaklaşımla işe başlamak en güzelidir. Sonuçta asıl olan problemin çözülmesidir. Buna ulaşmak da ancak çok problem çözerek büyük bir birikime sahip olmakla olur. Bu birikim bizim çözme metodlarını ve çözüme götürücü yolları daha rahat görmemizi sağlar. George Poyla ya göre bir problemin çözümünde belli başlı dört aşama vardır:
i. Problemi anlamak,
ii. Plan hazırlamak,
iii. Planı uygulamak,
iv. Geriye bakmak tır.
Birinci aşamada Bilinmeyen nedir? Veriler nelerdir? Şart nedir? sorularına cevap aranmalıdır. Şartı yerine getirmek mümkün mü? diye düşünmek gerekir. İkincisinde veriler ile bilinmeyen arasındaki bağıntıyı bulmak gerekir. Sonuçta çözülen her bir problemden ders alınmalıdır. Çözüme giderken geçilen aşamalar tekrar incelenmelidir. Zaten başarıya götüren birikim ve tecrübe de bu değil midir?
Bu yazının yazılmasında Dr. Cemal Yıldırım ın Tübitak Bilim ve Teknik Dergisi nin Haziran ve Temmuz 1982 sayılarında çıkan Matematiksel Düşünme: Niteliği ve Kaynağı ve Matematiksel Önermelerin Niteliği ve Matematiğin Bilimdeki Yeri yazılarından çok yararlandım. Problem Çözmek kısmında da Recep Yücesan ın Ocak 2004 te Zambak Yayınları ndan çıkan Meraklısına Matematik Eğitim Serisi kitabından faydalandım. Problem çözüm teknikleri için daha fazla bilgiye ihtiyaç hissedenler Recep Yücesan ın bu kitabına başvurabilirler.
Bu haftalık da bu kadar; hepiniz sevgiyle, başarıyla kalın.
Sizi seven Doktor Abi niz…
