kutay_cagatay@hotmail.com
MATEMATİK ÜZERİNE ‘SOKRATİK’ BİR DİYALOG-I için tıklayın
25.12.2008
MATEMATİK ÜZERİNE ‘SOKRATİK’ BİR DİYALOG II
MATEMATİK NEYE YARAR?
S: Seni hayal kırıklığına uğratmak istemem ama sanırım aslı sorun cevaplanmadı. Şu soruya henüz yanıt bulmadık: İnsan düşüncesinin bu eşsiz denizini keşfetmenin yararı nedir?
H: Her zaman olduğu üzere yine haklısın Sokrat. Ama bu kez yöntemini bir kenara koyarak cevabı hemen söyleyemez misin?
S: Hayır, bunu yapabilseydim bile senin iyiliğin için yapmazdım. Emek harcanmadan elde edilen bilgi insana değerli görünmez. Sadece belki dışarının yardımını alarak kendimiz keşfedersek eksiksiz olarak kavrarız, tıpkı bitkilerin yalnız, kendi kökleriyle topraktan emdikleri suyu kullanabildikleri gibi.
H: Pekala, araştırmamızı aynı yöntemle sürdürelim. Ama en azından bir soruyla bana yardım et.
S: Matematikçinin koyunların, gemilerin ya da diğer var olan şeylerin sayılarıyla değil, sayının kendisiyle uğraştığını saptadığımız noktaya geri dönelim.Yine de matematikçinin ‘soyut’ (pure) sayılar için doğruluğunu keşfettiği şeylerin, var olan şeyler için de doğru olduklarını hiç düşünmedin mi? Örneğin matematikçi 17 nin bir asal sayı olduğunu bulursa, 17 koyunu bir grup insan arasında, bu grup 17 kişiden veya 1 kişiden oluşmadıkça (ki o zaman insan grubu olmaz) eşit olarak paylaştıramayacağı da doğru değil midir?
Peki ya Geometri? Evlerin inşaatında, çömlek yapımında, bir geminin alabileceği kum miktarının hesaplanmasında uygulanamaz mı?
H: Tabii ki uygulanabilir. Yine de bana zanaatkarların pratik amaçları için pek fazla matematiğe ihtiyaçları yokmuş gibi geliyor. Bu tür amaçları için Mısır’lı firavun katiplerinin bile bildikleri basit kurallar yeterlidir. Theaitetos un büyük bir ateşle anlattığı türden yeni keşifler ne kullanılıyorlar ne de pratikte gereklidirler.
S: Belki de şu an için. Ama gelecekte kullanılabilirler.
H: Beni bugün ilgilendiriyor.
S: Eğer matematikçi olmayı istiyorsan, çoğunlukla gelecek için çalıştığını görmelisin.
Şimdi asıl soruya dönelim: Başka bir dünya hakkında, kelimenin bilinen anlamıyla, nesnelerin olmadığı düşüncenin dünyası hakkındaki bilgilerin; gerçek dünyadaki ‘günlük’ yaşam hakkındaki soruları cevaplamakta kullanılabileceklerini gördük. Bu şaşırtıcı değil mi?
H: Daha da ötesi kolay anlaşılmayan, gerçek bir mucizedir.
S: Belki de bu kadar gizemli değildir! Bu sorunun kabuğunu açarsak eğer, içinde gerçek bir inci bulabiliriz.
H: Lütfen Sevgili Sokrat, Pythia gibi bilmecelerle konuşma.
S: O halde söyler misin? Uzak ülkeleri gezmiş, bir çok şeyler görmüş ve yaşamış biri yaşadığı şehre geri döner ve deneyimlerini hemşerilerine güzel öğütler vermek için kullanırsa; bu, seni şaşırtır mı?
H: Şaşırtmaz.
S: Gezdiği yerler çok uzaklarda da olsa, oralarda başka diller konuşan, başka tanrılara tapan farklı insanlar yaşıyor olsa bile mi, seni şaşırtmaz Hipokrat?
H: Bu durumlarda bile şaşırmam. Çünkü farklı insanlar arasında bile ortak olan bir çok konu vardır.
S: Eğer tüm tuhaflıklarına karşın, matematiğin dünyasının bazı yönlerden bizim gerçek dünyamıza benzediği ortaya çıksa; matematiğin gerçek dünyanın araştırılmasında uygulanabilirliği ve bu yöndeki faydaları hala sana mucize gibi mi gelir?
H: Bu durumda hayır. Ama gerçek dünyayla matematiğin sanal dünyası arasında hiçbir bağ göremiyorum.
S: Şu yanımızdan süzülen ırmağın genişleyip bir göl oluşturduğu yerde ırmağın karşı kıyısındaki kayayı görüyor musun?
H: Evet.
S: Peki o kayanın sudaki yansımasını görüyor musun?
H: Elbette görüyorum.
S: Öyleyse kayayla sudaki yansıması arasındaki farkın ne olduğunu söyler misin?
H: Kaya baya sert bir madde kütlesidir. Güneş tarafından ısıtılır. Dokunduğumuzda sertliğini hissederiz. Yansımaya dokunulamaz. Üzerine ellerimi koyup ona dokunmaya çalıştığımda sadece ellerim serin suyla ıslanmış olur. Yansıma gerçekte yoktur, bir yanılsamadır.
S: Peki, kayayla yansıması arasında ortak bir nokta yok mudur?
H: Bir anlamda yansıma, kayanın tıpatıp bir resmidir. Kayanın dış hatları, hatta üstündeki küçük girinti ve çıkıntılar bile yansımada açıkça görülebilir. Fakat bundan ne sonuç çıkartılabilir? Bir dakika. Matematiğin dünyası, gerçek dünyanın, düşüncemizin aynasındaki yansımasıdır mı demek istiyorsun?
S: Aynen.
H: Ama bu nasıl mümkün olabilir?
S: Matematiğin soyut kavramlarının nasıl geliştiklerini bir daha anımsayalım istersen. Matematikçinin gerçek nesnelerin sayılarıyla değil de, soyut sayılarla uğraştığını söylemiştik. Peki hiç gerçek nesne saymamış birinin soyut sayıları anlayabileceğini söyleyebilir misin? Bir çocuk sayı saymayı öğrenirken önce çakıl taşlarını veya küçük çubukları sayar. Ancak sonra, iki taşla üç taşın beş taş ettiğini, çubuklar ve bozuk paralar için de aynı şeyin geçerli olduğunu anladıktan sonra ikiyle üçün beş ettiğini öğrenir. Geometride de temel mesele aynıdır. Çocuk Küre kavramını toplarla oynayarak elde eder. İnsanoğlu tüm temel kavramları benzer bir yolla gerçekleştirir. Bu nosyonlar gerçek dünyayla ilgili bilgilerden süzülerek elde edilir. Bu yüzden de, çocukların anne-babalarının izlerini taşımaları gibi, bu kavramların da kökenlerinin izlerini taşıması şaşırtıcı değil, tersine çok doğaldır. Tıpkı çocukların büyüyünce anne-babalarına destek olmaları gibi, yeterince geliştiklerinde matematiğin dalları da gerçek dünyayı keşfetmek için yararlı hale gelir.
H: Matematik dünyasında yer alan, var olmayan şeylerin bilgisinin nasıl olup ta günlük yaşamda kullanılabildiğini şimdi daha iyi anladım. Sana bunu anlamama yardım ettiğin için çok teşekkür ederim.
S: Seni kıskanıyorum, sevgili Hipokrat. Çünkü çözmeyi istediğim bir şeyi hala merak etmekteyim. Belki de sen bana yardımcı olursun.
H: Severek yaparım. Ama korkarım yine benimle alay ediyorsun. Benden yardım isteyerek beni utandırmak yerine lütfen, açık olarak atladığım soruyu anlat bana.
S: Tartışmamızın sonuçlarını özetlemeye çalışırsan bunu kendin göreceksin.
H: Matematiğin içinde yaşadığımız dünyadan farklı bir dünya, insan düşüncesinin dünyası hakkında kesin bilgiler verebileceği açık bir hale geldikten sonra, geriye bu bilginin ne işe yaradığı sorusu kaldı. Şimdi onun, gerçek dünyanın zihnimizdeki yansımasından başka bir şey olmadığını bulduk. Bu, matematik dünyası hakkındaki her keşfin, bize gerçek dünya hakkında çeşitli bilgiler verdiğini açık olarak gösterir. Bu cevap bana yeterli görünüyor.
S: Sana cevabın tam olmadığını söylerken bunu şaşırtmak amacıyla değil de er geç sorunun ortaya çıkacağı ve soruya dikkatini çekmediğim için beni kınayacağını düşündüğümden yaptım. Bana ‘Sokrat, nesnelerin kendilerini incelemek varken yansımalarını incelemenin anlamı nedir?’ diye sormalıydın.
H: Tümüyle haklısın, bu açık bir soru. Sen gizemli bir güce sahipsin Sokrat. Beni birkaç sözcükle tamamen şaşkına çevirebiliyorsun. Masum görünen bir soruyla zorlukla inşa ettiğimiz tüm binayı yerle bir edebiliyorsun. Tabii ki asıl şeye bakabilecek durumdayken yansımaya bakmamızın pek anlamı olmadığı cevabını vermeliydim. Ama bunun, bu noktada, benzememizin işe yaramadığını gösterdiğine eminim. Sorunun, benim nasıl bulunacağını bilmediğim bir cevabı olmalı.
S: Paradoksun, yansıma benzetmesine sıkı sıkıya bağlı kalmamızın bir sonucu olduğu hakkındaki tahminin doğru. Benzetmeler yay gibidir, çok fazla gerersen kırılırlar. Bu benzetmeyi bir tarafa bırakalım. Yeni bir tane seçelim. Herhalde, haritaların gezginler ve denizcilerin çok işine yaradığını bilirsin.
H: Bunu ben de denemiştim. Matematiğin gerçek dünyanın bir haritasını sunduğunu mu söylüyorsun?
S: Evet. Şimdi şu soruyu cevaplayabilir misin? Araziye bakmak yerine haritaya bakmanın avantajı nedir?
H: Bu açıktır; Haftalarca, aylarca seyahat ederek aşabileceğimiz uzun mesafeleri harita kullanarak çabucak gözden geçirebiliriz. Harita tüm detayları değil yalnızca en önemli şeyleri gösterir. Bu yüzden uzun yolculukların planlarını yapmada yararlıdır.
S: Çok güzel. Ama aklıma başka bir konu daha geldi. Dünyanın matematiksel bir görüntüsünü incelemenin ne yararı olabileceği konusunda başka bir neden daha olabilir mi? Matematikçiler dairenin bir özelliğini keşfederlerse bu bize dairesel nesneler hakkında da bilgi verir. Bu yüzden matematiğin yöntemi, bizim farklı şeylerle aynı anda ilgilenmemizi sağlar.
H: Peki, ya şu benzetmeler hakkında ne düşünürsün? Bir şehre yakınlardaki bir dağın tepesinden bakarsak, şehrin girintili çıkıntılı caddelerinde yürürken elde ettiğimizden daha kapsamlı bir görüntü elde ederiz. Ya da düşman ordusunun hareketini bir tepeden izleyen bir general, ön saflarda sadece tam karşısını gören bir askere göre durumun daha iyi bir görüntüsüne sahip olur.
S: Güzel. Yeni benzetmeler bulmakta beni geçtin. Ama fazla geride kalmak istemem. Ben de bir not ekleyeyim. Yakın zamanlarda Aglaophan nın oğlu Aristophon nun bir resmine baktım. Ressam şu uyarıyı yaptı: ‘Sokrat resme çok yaklaşırsan, resmin tümünü değil sadece boyalı noktaları görürüsün’.
H: Haklıymış. Sen de sorunun özüne inmeden tartışmayı bitirmeme izin vermediğin için haklıydın. Ama sanırım şehre dönme vakti geldi. Gecenin gölgeleri düşüyor, ben de acıktım ve susadım. Eğer halen sabrın tükenmediyse, sana yürürken bir şeyler sormak istiyorum.
S: Pekala, hadi
bakalım, sorunu sorabilirsin.
NEDEN MATEMATİKÇİ OLMADIM
H: Konuşmamız beni, matematik çalışmaya başlamam konusunda tümüyle ikna etti. Bundan dolayı sana minnettarım. Ama bana niye matematikle uğraşmadığını anlatır mısın? Matematiğin gerçek doğası ve önemi hakkında derin kavrayışına baktığımda öyle tahmin ediyorum ki, Yunanistan’daki tüm matematikçileri geçersin. Neden matematik üzerinde yoğunlaşmıyorsun? Hatta beni de kabul edersen, matematikte öğrencin olmaktan çok mutlu olurdum.
S: Hayır sevgili Hipokrat, bu benim işim değil. Theodorus matematik konusunda benden daha fazla şey bilir. Theodorus tan daha iyi bir hoca bulamazsın. Neden matematikçi olmadığıma gelince, sana bunun sebeplerini sayayım. Matematiği el üstünde tuttuğumu saklamayacağım. Biz Helenler matematikte diğer hiçbir sanatta olmadığı kadar önemli bir ilerleme gösterdik ve bu daha başlangıç sayılır. Eğer çılgınca savaşlarla birbirimizi öldürmeyi bırakırsak, mucit ve kaşifler olarak mükemmel sonuçlara ulaşabiliriz. Neden bu bilimi geliştirmeye çalışanların saflarına katılmadığımı sordun. Aslında ben de bir tür matematikçiyim. Yalnız farklı bir tür matematikçi sayılabilirim. İçimdeki, hep dikkatle kulak verdiğim Tanrısal bir ses, bana yıllar önce ‘Matematikçilerin bu soylu bilimlerinde gerçekleştirdikleri büyük ilerlemenin kaynağı nedir?’ diye sorduğunda şöyle cevap vermiştim: ‘Sanırım, matematikçilerin başarısının kaynağı yöntemlerinde, mantılarının yüksek standartlarında, doğruya hiç bir gölge düşürmeden verdikleri mücadelede, her zaman ilk ilkeden yola çıkma alışkanlıklarında, kullandıkları her kavramı tanımlamaktaki kesinliklerinde ve çelişkiye düşmekten sakınmalarında aranmalıdır’. İçimdeki ses ‘Pekala, ama neden bu düşünme ve akıl yürütme yönteminin sadece sayılar ve geometrik kavramlar için kullanılabileceğini düşünüyorsun? Neden aynı şehirde yaşadığın insanları; aynı yüksek mantıksal standartların diğer alanlara da, örneğin felsefede ve politikada, özel ve kamu yaşamının gündelik sorunlarının tartışılmasında da uygulanabileceğine ikna etmeye çalışmıyorsun?’ diye yanıtlamıştı. O günden bu yana bu benim amacım haline geldi. Bilge diye bilinenlerin daha çok cahil aptallar olduğunu (örneğin Protagoras ile girdiğimiz tartışmayı hatırlarsın) gösterdim. İddialarının tümü sağlam temellerden yoksun olur, çünkü matematiğin tersine tanımsız, yarı anlaşılır yarı anlaşılmaz kavramları kullanıyorlar. Böyle davranarak hemen herkesi düşmanım haline getirmeyi başardım. Bu pek şaşırtıcı değil çünkü düşünsel uyuşukluk içindeki ve belirsiz sözcükleri kullanmaktan hoşnutluk duyan insanlar için ben yaşayan bir kınamayım. İnsanlar sürekli olarak, düzeltmeyi beceremedikleri ya da düzeltmeye istekli olmadıkları yanlışlıklarını kendilerine hatırlatanlardan hoşlanmazlar. Gün gelecek bu insanlar üstüme atlayıp beni yok edecekler. Ama o gün gelene dek, bu misyonumu yerine getirmeye devam edeceğim. Sen de Theodorus a gideceksin.
Alfred Renyi nin ' Dialogues on Mathematics ' kitabının 'Socratic Dialogue on Mathematics' kısmının, Boğaziçi Üniversitesi Bilgi İşlem kulübünün çıkardığı ' Bilim ve Mühendislik' dergisinde 3. sayıdaki çevirisidir.
